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Percolation arithmétique

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Si on part du réseau carré et efface chaque sommet indépendamment avec une certaine probabilité q, on effectue ce qui s'appelle la percolation de Bernoulli : cet important modèle de mécanique statistique rend compte des phénomènes d'infiltration en milieu poreux. Si on part du réseau carré mais cette fois-ci efface chaque sommet (x,y) tel que PGCD(x,y) ≠ 1, on obtient maintenant un objet déterministe de nature arithmétique. Est-il possible de former une percolation (véritablement aléatoire donc) riche en informations arithmétiques ?

On va voir que cela est effectivement possible : on peut définir à quoi ressemble le sous-graphe arithmétique précédent "vu depuis un point tiré uniformément dans le plan". Cela résout une conjecture de Vardi. Ce sous-graphe aléatoire est obtenu selon un "crible d'Ératosthène aléatoire". Les outils arithmétiques permettant de lier le sous-graphe arithmétique déterministe et sa contrepartie aléatoire sont le lemme chinois et les entiers profinis, que j'introduirai sans me hâter.

Dates: 
Wednesday, November 22, 2017 - 10:30
Location: 
Salle de séminaire M3
Speaker(s): 
Sebastien Martineau
Affiliation(s): 
Université Paris-Sud